Stokesscher Integralsatz Beispiel Essay

Dieser Artikel behandelt einen Green'schen Integralsatz der Ebene. Weitere nach George Green benannte Sätze siehe unter Greensche Formeln.

Der Satz von Green (auch Green-Riemannsche Formel oder Lemma von Green, gelegentlich auch Satz von Gauß-Green) erlaubt es, das Integral über eine ebene Fläche durch ein Kurvenintegral auszudrücken. Der Satz ist ein Spezialfall des Satzes von Stokes. Erstmals formuliert und bewiesen wurde er 1828 von George Green in An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism.

Formulierung des Satzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Kompaktum in der xy-Ebene mit abschnittsweise glattem Rand (siehe Abbildung). Weiter seien stetige Funktionen mit den ebenfalls auf stetigen partiellen Ableitungen und . Dann gilt:

Dabei bedeutet das Kurvenintegral entlang von , also , falls durch eine stückweise stetig differenzierbare Kurve beschrieben wird. Analog wird definiert.

Sonderfall Wegunabhängigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den speziellen Fall, dass der Integrand im Kurvenintegral rechts das totale Differential einer skalaren Funktion darstellt, d. h. es ist und , folgt nach dem Satz von Schwarz (Vertauschbarkeit der Reihenfolge der Ableitungen von nach und ), dass

sein muss. Damit wird , so dass das Flächenintegral links und damit das Kurvenintegral rechts über den geschlossenen Weg gleich null werden, d. h. der Wert der Funktion hat sich nicht verändert.

Solche wegunabhängigen zweidimensionalen Funktionsänderungen treten beispielsweise in der Thermodynamik bei der Betrachtung von Kreisprozessen auf, wobei dann dort für die innere Energie oder die Entropie des Systems steht.

Für dreidimensionale skalare Potentialfelder , wie sie in der Mechanik z. B. das konservative Kraftfeld eines Newton'schen Gravitationspotential beschreiben, kann die Wegunabhängigkeit über den allgemeineren Satz von Stokes ähnlich bewiesen werden.

Anwendungsbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Flächeninhalt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wählt man und , so lauten die partiellen Ableitungen und . Die Integrale beschreiben dann den Flächeninhalt von D, der alleine durch den Verlauf der Randkurve eindeutig bestimmt ist und statt durch ein Doppelintegral durch ein Kurvenintegral berechnet werden kann:

Wählt man und , so erhält man analog

Addiert man die beiden Resultate so erhält man die Sektorformel von Leibniz für eine geschlossene Kurve:

Flächenschwerpunkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wählt man und , so lauten die partiellen Ableitungen und . Dann kann man die x-Koordinate des Schwerpunkts der Fläche D durch ein Kurvenintegral berechnen:

Entsprechend erhält man mit und für die y-Koordinate des Schwerpunktes der Fläche D:

Dieses Prinzip wird auch in Planimetern oder Integrimetern verwendet, um Flächeninhalte und Flächenmomente höherer Ordnung zu bestimmen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kompaktum D in der xy-Ebene mit abschnittsweise glattem Rand C.

Zusammenfassung

Die Integralsätze der Vektoranalysis stellen ein klassisches Beispiel eines von der Physik inspirierten neuen Gebiets dar. Gegen Ende des 18. Jahrhunderts war eine verwirrende Fülle elektrischer und magnetischer Phänomene bekannt. Ihre mathematische Beschreibung beginnt mit den beiden von Charles Augustin De Coulomb (1736–1806, französischer Physiker) gefundenen Coulombsehen Gesetzen für die Anziehung bzw. Abstoßung elektrischer Ladungen (1785) und magnetischer Pole (1786). Diese Naturgesetze haben dieselbe Gestalt wie das Newtonsehe Gravitationsgesetz: die Kraft ist proportional zur Stärke der beteiligten Ladungen bzw. Pole, und sie nimmt wie 1/r2 ab. Hieraus entwickelt sich mit innerer Notwendigkeit eine Potentialtheorie der elektrischen und magnetischen Erscheinungen. Sie beginnt (nach Vorarbeiten von Poisson) mit George Green, einer erstaunlichen Gestalt, geboren 1793 in Nottingham (England) als Sohn eines Bäckers, der später Müller wurde. Green ging nur kurze Zeit zur Schule, arbeitete im Geschäft seines Vaters und erwarb seine Kenntnisse im Selbststudium. Seine wichtigste Arbeit An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism erschien 1828 als Privatdruck, unterstützt von 52 Subskribenden. Sie führt den Begriff der Potentialfunktion und die später so genannte Greensehe Funktion ein und enthält die Greensehen Formeln. Als Green 1841 starb, war sein Werk in England kaum und auf dem Kontinent gar nicht bekannt.

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